Laman

Cari Blog Ini

Memuat...

Selasa, 29 Maret 2011

Logaritma

1. Pengertian Logaritma Suatu Bilangan
Teorema :  Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai yang telah diketahui. glog a = n jika dan hanya jika gn = a.
    Dengan :
    1. g dinamakan bilangan pokok (basis) logaritma, dengan 0 < g < 1 atau g > 1 (g ≠ 1 dan g > 0)
        a. Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya ditulis. 
            Ilustrasi : 10log a ditulis log a, 10log 5 ditulis log 5, dan sebagainya.
        b. Jika g = e, dengan e = 2,7128... maka elog a ditulis ln a (dibaca :"logaritma natural a atau ln a"), 
            elog 3 ditulis ln 3, yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
    2. a dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan a > 0.
    3. n dinamakan hasil logaritma (merupakan eksponen dari g yang menghasilkan a)
    4. glog a dibaca logaritma a dengan bilangan pokok g (seringkali dibaca "g log a").
   
2. Sifat - sifat Logaritma 
    Definisi :
             Logaritma bilangan a dengan bilangan pokok g sama dengan n yang memangkatkan g hingga menjadi a.
definisi logaritma tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Jika n = glog a disubstitusikan ke dalam gn = a, maka kita memperoleh hubungan
Selanjutnya dengan mudah dapat kita pahami bahwa
1. Jika a = gn disubstitusikan ke dalam n = glog a, maka kita memperoleh hubungan glog gn = n 
2. Jika a = g1 disubstitusikan ke dalam 1 = glog a, maka kita memperoleh hubungan glog g1 = 1 atau glog g = 1
3. Jika 1 = g0 disubstitusikan ke dalam 0 = glog 1, maka kita memperoleh hubungan glog g0 = 0 atau glog 1 = 0

Berdasarkan uraian di atas dapat dikemukakan rumus-rumus sebagai berikut :
1.    
2. glog gn = n
3. glog g = 1
4. glog 1 = 0

Teorema 1
     Jika g > 0, g ≠ 0, dan a, b adalah bilangan real positif, maka :
glog ab = glog a + glog b
Bukti : 
misalkan : glog a = m, maka gm = a  
               glog b = n, maka gn = b
               di mana m dan n adalah bilangan real positif
sehingga :            a . b = gm. gn 
               <=>        ab = gm+n 
               <=> glog ab = m + n
               <=> glog ab = glog a + glog

Teorema 2
     Jika g > 0, g ≠ 0, dan a, b adalah bilangan real positif, maka :
glog a/b = glog a glog b
Bukti : 
misalkan : glog a = m, maka gm = a  
               glog b = n, maka gn = b
               di mana m dan n adalah bilangan real positif
sehingga :              a/b = gm. gn 
               <=>       a/b = gm-n 
               <=> glog a/b = m n
               <=> glog a/b = glog a glog b 

untuk a = 1, maka glog 1/b = glog 1 glog b 
                    <=> glog 1/b = 0 glog b 
                    <=> glog 1/b = glog b 

Teorema 3
     Jika g > 0, g ≠ 0, a suatu bilangan real positif dan n suatu bilangan real, maka :
glog an = n glog a 
Bukti : 
misalkan : glog an = m, maka gman  
               di mana m adalah bilangan real positif dan n suatu bilangan real
sehingga :                gm = a . a . a . a . a ... a (sebanyak n-kali)
               <=> glog (a . a . a . a . a ... a (sebanyak n-kali)) = m
               <=> glog aglog a + glog a + glog a + glog a + ... + glog a = m 
                      <----------------------- n-kali ------------------------>
               <=> n . glog a = m
               <=> n . glog a = glog an 

               <=> glog an = n . glog a 

Teorema 4
     Jika g > 0, g ≠ 0, a suatu bilangan real positif, m suatu bilangan real dan n suatu bilangan asli, dengan n > 1, maka :
1. 
    sebagaimana telah dibuktikan pada teorema tiga, jika g > 0, g ≠ 0, a suatu bilangan real positif dan n suatu bilangan real, maka : glog an = n glog a 
    maka,   
              =
              =


2.  
    Bukti :
    dimisalkan = b, di mana b suatu bilangan real positif
    maka, = b
     <=>        (gn)b = am  
     <=>  ((gn)b)1/n = (am)1/n 
     <=>            gb = am/n 
     <=>    = b  
     <=>  

3.
    sebagaimana telah dibuktikan pada no.2 teorema 4 bahwa :   
    maka, gnlog an =
                          =  glog a

Teorema 5
     Jika a > 0, a ≠ 0 dan b > 0, b ≠ 0 dan b, c suatu bilangan real positif, maka :
alog b × blog c = alog c
Bukti : 
misalkan : alog b = m, maka am =
               blog c = n, maka bn = c
               di mana m dan n adalah bilangan real positif
sehingga :                 bn = c
               <=>     (am)n = c
               <=>        amn = c
               <=>     alog c = mn
               <=>     alog c = alog b × blog
               <=>     alog b × blog c = alog c 
 
untuk c = a, maka alog b × blog a = alog a 
                    <=>  alog b × blog a = 1
Teorema 6
     Jika a > 0, a ≠ 0, p > 0, p ≠ 0, a dan b suatu bilangan real positif, maka :
 
Bukti :
                      
<=>   plog a × alog b = plog b
        sesuai dengan teorema 5 bahwa, alog b × blog c = alog c
        maka plog a × alog b = plog b terbukti.




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar